고유값(EVD : Eigen Value Decomposition) 분해

 

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첫번째 티스토리 글 주제를 무엇으로 할지 고민하다가

현재 대학원 수업에서 배우고 있는 행렬 분석 과목을 공부하면서

아이패드로 정리하고, 이곳에 기록하기로 결심했다.

아이패드 필기 중심이라 설명이 많지는 않을 것 같다.

 

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1. 고유값 분해의 의미

 

고유값 분해(eigen decomposition)은

고유값과 고유벡터로부터 유도되는 고유값 행렬과 행렬에 의해 분해될 수 있는 행렬의 표현....

이라고 위키백과에 안내되어 있다.

이는 mxm정사각 대칭행렬에서만 성립되는 행렬 분해 방식이다.

 

고유벡터(eigen vector)는

어떤 선형 변환을 취했을 때 방향은 변하지 않고 크기만 변하는 벡터이고

 

고유값(eigen value)은 이때 고유벡터가 변화한 크기를 의미한다.

 

 

2. 고유값 분해 공식

 

 

$A = PΛP^{-1}$

여기서

A는 대각화 가능행렬로서, 가역적이고 정사각 행렬이다.

P는 고유벡터 행렬로, A의 고유벡터로 이루어진 nxn직교행렬이다.

따라서, 위 공식은 $A$ = $PΛP^{T}$ 로도 쓰인다.

$A^{D}$(Λ라고 많이 씀)는 대각화 가능행렬로서 A의 각 고유벡터에 해당하는 고유값을 대각원소로 한다.

 

위의 고유값과 고유벡터를 활용하여 시각적으로 다시 정리해보면 아래와 같다.

 

 

3. 고유값 분해 풀이 순서, Example

 

고유값 분해 풀이 순서는 아래와 같다.

 

1. 고유값 구하기 - det(xI-A)

2. 고유 벡터 구하기

3. 대각화 행렬 $A^{D}$ (Λ) 구하기

 

 

 

아무래도 문제를 직접 풀어보아야 할 것 같아서 ..!

풀이 예시는 아래와 같다.

 

 

 

 

 

 

 

 

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다음 포스트에서는 임의의 mxn행렬에서도 성립하는

특이값 분해(Singular Value Decomposition)에 대해서 정리해보려고 한다.